图 | 程序员小舟

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1、为什么要有图

1、前面我们学了线性表和树 2、线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系 3、树也只能有一个直接前驱也就是父节点 3、当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图

2、图的举例说明

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。如图：

3、图的常用概念

顶点(vertex)

边(edge)

路径

无向图(右图)

有向图

带权图 无向图：顶点之间的连接没有方向，比如A-B, 即可以是 A-> B 也可以 B->A .

路径

：比如从 D -> C 的路径有 1) D->B->C 2) D->A->B->C

有向图

：顶点之间的连接有方向，比如A-B, 只能是 A-> B 不能是 B->A .

带权图

：这种边带权值的图也叫网.

4、图的表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1....n个点。

邻接表

邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.

邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成

说明: 1、标号为0的结点的相关联的结点为 1 2 3 4 2、标号为1的结点的相关联结点为0 4， 3、标号为2的结点相关联的结点为 0 4 5 ....

5、图的快速入门案例

要求: 代码实现如下图结构.

5.1、代码实现


    public void insertVertex(String value){
        arrayList.add(value);
    }
    public void insertEdge(int v1,int v2,int vaue){
        arrs[v1][v2]=vaue;
        arrs[v2][v1]=vaue;
        edge++;
    }

6、图的深度优先遍历介绍

6.1、图遍历介绍

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历

6.2、深度优先遍历基本思想

图的深度优先搜索(Depth First Search) 。

深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。

我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。显然，深度优先搜索是一个递归的过程

6.3、深度优先遍历算法步骤

访问初始结点v，并标记结点v为已访问。

查找结点v的第一个邻接结点w。

若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。

若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。

查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。

看一个具体案例分析:

要求：对下图进行深度优先搜索, 从A 开始遍历.

6.4、深度优先遍历代码实现


 //深度优先遍历算法
    public void dfs(int index,boolean[] isvisited){
        System.out.println(arrayList.get(index));
        isvisited[index]=true;
        int w = getFirstNeibor(index);
        while (w!=-1){
            if (!isvisited[w]){
                dfs(w,isvisited);
            }
          w=  getNextNeibor(index,w);
        }
    }

    public void dfs(){
        isvisited=new boolean[arrayList.size()];
        for (int i = 0; i < arrayList.size(); i++) {
            if (!isvisited[i]){
                dfs(i,isvisited);
            }
        }
    }

7、图的广度优先遍历

7.1、广度优先遍历基本思想

图的广度优先搜索(Broad First Search) 。类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

7.2、广度优先遍历算法步骤

访问初始结点v并标记结点v为已访问。

结点v入队列

当队列非空时，继续执行，否则算法结束。

出队列，取得队头结点u。

查找结点u的第一个邻接结点w。

若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤： 6.1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。 6.2 结点w入队列 6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。

7.3、广度优先代码实现


 public void pfs(int index,boolean[] isvisited){
        int u;
        int w;
        LinkedList queue=new LinkedList();
        System.out.println(getIndex(index));
        isvisited[index]=true;
        queue.addLast(index);
        while (!queue.isEmpty()){
            u=(Integer)queue.removeFirst();
             w = getFirstNeibor(u);
            while (w!=-1){
                 if (!isvisited[w]) {
                     System.out.println(getIndex(w));
                     isvisited[w]=true;
                     queue.addLast(w);
                 }
                 w=getNextNeibor(u,w);
             }
        }
    }

    public void pfs(){
        isvisited=new boolean[arrayList.size()];
        for (int i = 0; i < arrayList.size(); i++) {
            if (!isvisited[i]){
                pfs(i,isvisited);
            }
        }
    }

8、图的深度优先VS 广度优先

应用实例

graph.insertEdge(0, 1, 1); graph.insertEdge(0, 2, 1); graph.insertEdge(1, 3, 1); graph.insertEdge(1, 4, 1); graph.insertEdge(3, 7, 1); graph.insertEdge(4, 7, 1); graph.insertEdge(2, 5, 1); graph.insertEdge(2, 6, 1); graph.insertEdge(5, 6, 1);

深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7

广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8

9、代码整合


package com.qf.graph;

import javax.jws.soap.SOAPBinding;
import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;

public class GrahpDemo {
    public ArrayList<String> arrayList;
    private int edge;
    private int [][]arrs;
    private boolean[] isvisited;

    public static void main(String[] args) {
        String [] arr={"1","2","3","4","5","6","7","8"};
        GrahpDemo grahpDemo=new GrahpDemo(arr.length);
        for (String s : arr) {
            grahpDemo.insertVertex(s);
        }
        //A-B A-C B-C B-D B-E
        grahpDemo.insertEdge(0, 1, 1);
        grahpDemo.insertEdge(0, 2, 1);
        grahpDemo.insertEdge(1, 3, 1);
        grahpDemo.insertEdge(1, 4, 1);
        grahpDemo.insertEdge(3, 7, 1);
        grahpDemo.insertEdge(4, 7, 1);
        grahpDemo.insertEdge(2, 5, 1);
        grahpDemo.insertEdge(2, 6, 1);
        grahpDemo.insertEdge(5, 6, 1);
        grahpDemo.showGraph();
        grahpDemo.pfs();
        //grahpDemo.pfs();

    }

    public GrahpDemo(int n){
        arrayList=new ArrayList<>();
        arrs=new int[n][n];

    }

    public void insertVertex(String value){
        arrayList.add(value);
    }
    public void insertEdge(int v1,int v2,int vaue){
        arrs[v1][v2]=vaue;
        arrs[v2][v1]=vaue;
        edge++;
    }

    public int getEdge(){
        return edge;
    }

    public int getNodes(){
        return arrayList.size();
    }

    public void showGraph(){
        for (int[] arr : arrs) {
            for (int i : arr) {
                System.out.print(i+" ");
            }
            System.out.println();
        }
    }

    //查找结点v的第一个邻接结点w。
    public int getFirstNeibor(int index){
        for (int j=0;j<arrayList.size();j++){
            if (arrs[index][j]>0){
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    public int getNextNeibor(int v1,int v2){
        for (int j=v2+1;j<arrayList.size();j++){
            if (arrs[v1][j]>0){
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    public String getIndex(int index){
        return arrayList.get(index);
    }
    //深度优先遍历算法
    public void dfs(int index,boolean[] isvisited){
        System.out.println(arrayList.get(index));
        isvisited[index]=true;
        int w = getFirstNeibor(index);
        while (w!=-1){
            if (!isvisited[w]){
                dfs(w,isvisited);
            }
          w=  getNextNeibor(index,w);
        }
    }

    public void dfs(){
        isvisited=new boolean[arrayList.size()];
        for (int i = 0; i < arrayList.size(); i++) {
            if (!isvisited[i]){
                dfs(i,isvisited);
            }
        }
    }

    public void pfs(int index,boolean[] isvisited){
        int u;
        int w;
        LinkedList queue=new LinkedList();
        System.out.println(getIndex(index));
        isvisited[index]=true;
        queue.addLast(index);
        while (!queue.isEmpty()){
            u=(Integer)queue.removeFirst();
             w = getFirstNeibor(u);
            while (w!=-1){
                 if (!isvisited[w]) {
                     System.out.println(getIndex(w));
                     isvisited[w]=true;
                     queue.addLast(w);
                 }
                 w=getNextNeibor(u,w);
             }
        }
    }

    public void pfs(){
        isvisited=new boolean[arrayList.size()];
        for (int i = 0; i < arrayList.size(); i++) {
            if (!isvisited[i]){
                pfs(i,isvisited);
            }
        }
    }
}