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1、应用场景-修路问题

看一个应用场景和问题:
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  1. 有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ,现在需要修路把7个村庄连通
  1. 各个村庄的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 5公里
  1. 问:如何修路保证各个村庄都能连通,并且总的修建公路总里程最短? 思路: 将10条边,连接即可,但是总的里程数不是最小. 正确的思路,就是尽可能的选择少的路线,并且每条路线最小保证总里程数最少.

2、最小生成树

修路问题本质就是就是最小生成树问题, 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree),简称MST
  1. 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
  1. N个顶点,一定有N-1条边
  1. 包含全部顶点
  1. N-1条边都在图中 举例说明(如图:) 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
    1. notion image

3、普里姆算法介绍

  1. 普利姆(Prim)算法求最小生成树,也就是在包含n个顶点的连通图中,找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图,也就是所谓的极小连通子图
  1. 普利姆的算法如下:
  1. 设G=(V,E)是连通网,T=(U,D)是最小生成树,V,U是顶点集合,E,D是边的集合
  1. 若从顶点u开始构造最小生成树,则从集合V中取出顶点u放入集合U中,标记顶点v的visited[u]=1
  1. 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边,则寻找这些边中权值最小的边,但不能构成回路,将顶点vj加入集合U中,将边(ui,vj)加入集合D中,标记visited[vj]=1
  1. 重复步骤②,直到U与V相等,即所有顶点都被标记为访问过,此时D中有n-1条边 提示: 单独看步骤很难理解,我们通过代码来讲解,比较好理解.

4、普里姆算法图片解析

notion image

5、普里姆算法代码实现

package com.qf.prim; public class PrimAlgorithm {    public static void main(String[] args) {        char[] data={'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};        int [][]weight=new int[][]{               {10000,5,7,10000,10000,10000,2},               {5,10000,10000,9,10000,10000,3},               {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},               {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},               {10000,10000,8,10000,10000,5,4},               {10000,10000,10000,4,5,10000,6},               {2,3,10000,10000,4,6,10000}};        Mgraph mgraph=new Mgraph(data.length);        MiniTree miniTree=new MiniTree();        miniTree.createMiniTree(mgraph,data,weight);        miniTree.showMiniTree(mgraph);        miniTree.prim(mgraph,2);   } } class MiniTree{    public MiniTree(){};    /**     * 创建最小树     * @param mgraph     * @param data     * @param weight     */    public void createMiniTree(Mgraph mgraph,char[] data,int [][] weight){        for (int i = 0; i < mgraph.vert; i++) {            mgraph.data[i]=data[i];            for (int j = 0; j < mgraph.vert; j++){                mgraph.weight[i][j]=weight[i][j];           }       }   }    /**     * 展示最小树     * @param mgraph     */    public void showMiniTree(Mgraph mgraph){        for (int[] ints : mgraph.weight) {            for (int anInt : ints) {                System.out.print(anInt+" ");           }            System.out.println();       }   }    public void prim(Mgraph mgraph,int v){        //从第几个字符开始访问        //已访问表        int visit[]=new int[mgraph.vert];        visit[v]=1;        int weight=10000;        int h1=-1;        int h2=-1;        for (int k=1;k<mgraph.vert;k++){            for (int i = 0; i < mgraph.vert; i++) {                for (int j = 0; j < mgraph.vert; j++) {                    if (visit[i]==1&visit[j]==0&weight>mgraph.weight[i][j]){                        h1=i;                        h2=j;                        weight=mgraph.weight[i][j];                   }               }           }            System.out.println("边<"+mgraph.data[h1]+" "+mgraph.data[h2]+">"+"权重为:"+mgraph.weight[h1][h2]);            weight=10000;            visit[h2]=1;       }   } } class Mgraph{    int vert;   //顶点个数    char[] data;    //字符数据    int [][] weight;    //邻接矩阵来表示权重    public Mgraph(int vert){        this.vert=vert;        this.data=new char[vert];        this.weight=new int[vert][vert];   } }
 
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