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1、应用场景-修路问题
看一个应用场景和问题:

- 有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ,现在需要修路把7个村庄连通
- 各个村庄的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 5公里
- 问:如何修路保证各个村庄都能连通,并且总的修建公路总里程最短? 思路: 将10条边,连接即可,但是总的里程数不是最小. 正确的思路,就是尽可能的选择少的路线,并且每条路线最小,保证总里程数最少.
2、最小生成树
修路问题本质就是就是最小生成树问题, 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree),简称MST。
- 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
- N个顶点,一定有N-1条边
- 包含全部顶点
- N-1条边都在图中 举例说明(如图:) 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

3、普里姆算法介绍
- 普利姆(Prim)算法求最小生成树,也就是在包含n个顶点的连通图中,找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图,也就是所谓的极小连通子图
- 普利姆的算法如下:
- 设G=(V,E)是连通网,T=(U,D)是最小生成树,V,U是顶点集合,E,D是边的集合
- 若从顶点u开始构造最小生成树,则从集合V中取出顶点u放入集合U中,标记顶点v的visited[u]=1
- 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边,则寻找这些边中权值最小的边,但不能构成回路,将顶点vj加入集合U中,将边(ui,vj)加入集合D中,标记visited[vj]=1
- 重复步骤②,直到U与V相等,即所有顶点都被标记为访问过,此时D中有n-1条边 提示: 单独看步骤很难理解,我们通过代码来讲解,比较好理解.
4、普里姆算法图片解析

5、普里姆算法代码实现
package com.qf.prim; public class PrimAlgorithm { public static void main(String[] args) { char[] data={'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'}; int [][]weight=new int[][]{ {10000,5,7,10000,10000,10000,2}, {5,10000,10000,9,10000,10000,3}, {7,10000,10000,10000,8,10000,10000}, {10000,9,10000,10000,10000,4,10000}, {10000,10000,8,10000,10000,5,4}, {10000,10000,10000,4,5,10000,6}, {2,3,10000,10000,4,6,10000}}; Mgraph mgraph=new Mgraph(data.length); MiniTree miniTree=new MiniTree(); miniTree.createMiniTree(mgraph,data,weight); miniTree.showMiniTree(mgraph); miniTree.prim(mgraph,2); } } class MiniTree{ public MiniTree(){}; /** * 创建最小树 * @param mgraph * @param data * @param weight */ public void createMiniTree(Mgraph mgraph,char[] data,int [][] weight){ for (int i = 0; i < mgraph.vert; i++) { mgraph.data[i]=data[i]; for (int j = 0; j < mgraph.vert; j++){ mgraph.weight[i][j]=weight[i][j]; } } } /** * 展示最小树 * @param mgraph */ public void showMiniTree(Mgraph mgraph){ for (int[] ints : mgraph.weight) { for (int anInt : ints) { System.out.print(anInt+" "); } System.out.println(); } } public void prim(Mgraph mgraph,int v){ //从第几个字符开始访问 //已访问表 int visit[]=new int[mgraph.vert]; visit[v]=1; int weight=10000; int h1=-1; int h2=-1; for (int k=1;k<mgraph.vert;k++){ for (int i = 0; i < mgraph.vert; i++) { for (int j = 0; j < mgraph.vert; j++) { if (visit[i]==1&visit[j]==0&weight>mgraph.weight[i][j]){ h1=i; h2=j; weight=mgraph.weight[i][j]; } } } System.out.println("边<"+mgraph.data[h1]+" "+mgraph.data[h2]+">"+"权重为:"+mgraph.weight[h1][h2]); weight=10000; visit[h2]=1; } } } class Mgraph{ int vert; //顶点个数 char[] data; //字符数据 int [][] weight; //邻接矩阵来表示权重 public Mgraph(int vert){ this.vert=vert; this.data=new char[vert]; this.weight=new int[vert][vert]; } }
- 作者:程序员小舟
- 链接:https://codezhou.top/article/%E6%99%AE%E9%87%8C%E5%A7%86%E7%AE%97%E6%B3%95
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